分辨率的三种判据

物镜 分辨率是指物镜分辨两个紧密相邻特征的能力，理论上常用两个可分辨的点光源之间的最小距离表示。点光源的图像由于衍射不是一个亮点，而是一个延伸的光强轮廓。这种轮廓叫艾里斑，包含一个中心亮斑和一系列强度显著减弱的明暗交替同心环。因此，两个点光源的图像是两个有所重叠的艾里斑，而物镜分辨率取决于两者之间的最小可分辨距离。




虽然怎样才能判定两个艾里斑是可分辨的没有基本的标准，但实际应用中仍有一些可供参考的判据。在显微镜成像中，常用的两个判据是瑞利判据和阿贝判据。第三个是天文学常用的斯帕罗(Carrol Mason Sparrow)判据。




瑞利判据




瑞利判据指出，当一个艾里斑的第一个强度极小值刚好和另一个艾里斑的极大值重合时，这两个艾里斑是可被分辨的。以中心极大值为圆心，第一个强度极小值位于半径为1.22λf/D的圆环上，其中λ是光波长，f是物镜焦距，而D是入瞳直径。
如果以数值孔径(NA)表示，瑞利分辨率为：
r(R) =1.22λf/D =0.61λ/NA
左下图展示了间距等于瑞利分辨率的两个理想艾里斑(假设照明光源为非相干光源)，而右下图是对应的光强曲线。通过两条垂直的虚线可看出，每个艾里斑的极大值刚好和相邻艾里斑的极小值重合。而且，两个极大值之间还有一个局部极小值，清晰地出现在两个白色光斑之间的灰色区域。



阿贝判据




在阿贝理论中，成像是一个双重衍射过程。在这个理论框架中，为了分辨相距为d的两个特征，要求是零级和一级衍射都能通过物镜。因为一级衍射的角度为sinθ₁ = λ/d，所以两个特征的最小间距(物镜分辨率)为d = λ/(n·sinα)，其中α是物镜的孔径半角，而n是成像介质的折射率。

上述结果是实际分辨率极限的2倍，因为它假设两个一级衍射都要通过物镜，但实际上只需要通过一个一级衍射和零级衍射。将上述结果除以2并代入NA的表达式可得出著名的阿贝分辨率：

r(A) = 0.5λ/NA

左下图展示了间距等于阿贝分辨率的两个理想艾里斑，而右下图是对应的光强曲线。相比瑞利分辨率，原点处的极小值更难分辨很多，因为它只比两个强度极大值低2%左右。



斯帕罗判据




对于瑞利和阿贝分辨率，两个点光源的合成强度轮廓有一个极小值，位于两个极大值中间的原点处。从某种意义上讲，这正是两个点光源得以分辨的原因。如果间距进一步减小，直至小于阿贝分辨率极限，这两个单独的极大值就将融合成一个中心极大值而无法分辨。因此，斯帕罗分辨率判据指出，当中心从极小值过渡到极大值时，两个点光源的间距达到可分辨极限。

在斯帕罗分辨率极限位置，合成强度轮廓的中心是平坦的，说明强度对位置的导数在原点处为零。但这不能判断原点处的强度是极大值还是极小值。由于斯帕罗分辨率极限发生在原点强度从局部极小值过渡为极大值的时候，因此二次导数的符号必须从正变为负。

因此，斯帕罗判据是基于二阶导数的。当原点处的二阶导数为零时，分辨率达到极限。将此条件应用于两个艾里斑的合成强度轮廓，可得到斯帕罗分辨率：

r(S) = 0.47λ/NA

左下图展示了间距等于斯帕罗分辨率的两个艾里斑，而右下图是对应的光强曲线，其原点处没有强度凹陷。